|
|
 |
|
|
|
|
|
|
| Detalji |
| Projekt: |
Diofantske jednadžbe i eliptičke krivulje |
| Voditelj: |
Andrej Dujella |
| Ustanova: |
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odjel, Zagreb |
| Sažetak: |
Glavna tema istraživanja na ovom projektu bit će nalaženje dobrih ocjena za veličinu Diofantovih m-torki (skupova sa svojstvom da produkt bilo koja dva njihova elementa uvećan za 1 daje potpun kvadrat) i njihovih poopćenja. Diofant je proučavao ovaj problem za pozitivne racionalne brojeve, dok je prvu Diofantovu četvorku u prirodnim brojevima, skup {1,3,8,120}, pronašao Fermat. Baker i Davenport su 1969. godine dokazali da se Fermatov skup ne može proširiti s petim prirodnim brojem. Ovaj rezultat motivirao je poznatu slutnju o nepostojanju Diofantovih petorki. Dujella je 2004. godine dokazao da ne postoji Diofantova šestorka, te da Diofantovih petorki ima najviše konačno mnogo. Međutim, poznate gornje ograde za veličinu elemenata (hipotetske) Diofantove petorke su prevelike da bi se tvrdnja mogla provjeriti pomoću računala, tako da glavna slutnja i dalje ostaje otvorena. Proučavana su i različita poopćenja originalnog Diofantovog i Fermatovog problema: zamjena broja 1 proizvoljnim cijelim ili racionalnim brojem (takvi skupovi se zovu D(n)-m-torke), zamjena kvadrata s k-tim potencijama, promatranje problema u različitim komutativnim prstenima s
jednicom. Članovi projekta, u suradnji s vodećim međunarodnim stručnjacima iz polja diofantskih jednadžbi i eliptičkih krivulja, radit će na sljedećim temama: dokaz slutnje o nepostojanju Diofantovih petorki; Diofantove m-torke u kvadratnim i funkcijskim poljima; asimptotske ocjene za broj D(n)-trojki; najbolje moguće gornje ograde za veličinu D(-1) i D(4)-m-torki; rezultati o nedekompozabilnosti polinoma s primjenama na polinomijalne diofantske jednadžbe; konstrukcija (zasnovana na tvistovima eliptičkih krivulja) beskonačno mnogo racionalnih D(q)-petorki za široku klasu racionalnih brojeva q; rješenje nekih parametarskih familija Thueovih jednadžbi nad funkcijskim poljima; nalaženje svih cjelobrojnih točaka na nekim familijama eliptičkih krivulja; konstrukcija eliptičkih krivulja nad Q s velikim rangom i zadanom torzijskom grupom; primjena rezultata iz diofantskih aproksimacija u kriptoanalizi nekih kriptosustava s javnim ključem. Rezultati istraživanja bit će
publicirani u vrlo kvalitetnim međunarodnim časopisima, te prezentitani na međunarodnim konferencijama. Kroz ovaj projekt pojačat će se naša znanstvena suradnja s međunarodnim stručnjacima iz teorije brojeva, te će se osposobiti nekoliko mladih istraživača za znanstveni rad u području teorije brojeva, aritmetičke geometrije i kriptografije. |
|
|
|
|
|
|
|
