|
|
 |
|
|
|
|
|
|
| Detalji programa |
| Program: |
Teorija brojeva i algebra |
| Voditelj: |
Andrej Dujella |
| Ustanova: |
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odjel, Zagreb |
| Sažetak: |
Ovaj program će uključiti različita znanstvena istraživanja iz teorije brojeva, algebre i algebarske geometrije. Glavna tema unutar teorije brojeva bit će nalaženje dobrih ocjena za veličinu Diofantovih m-torki i njihovih poopćenja. Baker i Davenport su 1969. godine dokazali da se Diofantova četvorka {1,3,8,120}, koju je pronašao Fermat, ne može proširiti s petim prirodnim brojem. Ovaj rezultat motivirao je poznatu slutnju o nepostojanju Diofantovih petorki. Dujella je 2004. godine dokazao da ne postoji Diofantova šestorka, te da Diofantovih petorki ima najviše konačno mnogo. Druga važna tema unutar teorije brojeva vezana je uz proučavanje eliptičkih krivulja. To je područje matematike u kojem se susreću teorija brojeva i algebra, te će stoga na ovoj temi sva tri projekta unutar ovog programa usko surađivati. Glavna istraživanja iz algebre odnose se na strukturnu teoriju omotačkih algebri za važne klase Liejevih algebri (poluproste i nilpotentne). Cilj je što bolje proučiti nekomutativnu lokalizaciju, kao fundamentalnu algebarsku tehniku, na primjerima omotačkih algebri i Iwasawinih algebri, što su važni objekti u modernoj teoriji brojeva. U klasičnim Weilovim slutnjama se proučavaju zeta i L-funkcije koje sadrže informacije o brojevima točaka algebarskih mnogostrukosti nad konačnim poljima. Jedan od ciljeva ovog programa je poopćiti te slutnje u okviru diferencijskih mnogostrukosti nad algebarskim zatvorenjem konačnog polja s istaknutom potencijom Frobeniusovog automorfizma, gdje se također definiraju stanovite zavrnute zeta i L-funkcije.
Glavni rezultati koji se očekuju u okviru ovog programa su:
dokaz slutnje o nepostojanju Diofantovih petorki; konstrukcija eliptičkih krivulja nad Q s velikim rangom i zadanom torzijskom grupom; primjena rezultata iz diofantskih aproksimacija u kriptoanalizi nekih kriptosustava s javnim ključem; rezultati o idealima i modulima za omotačke algebre Liejevih algebri i o restrikcijama reprezentacija; formulacija i dokaz diferencijske verzije Weilovih slutnji, a posebno dokaz da je diferencijska zeta funkcija skoro-racionalna (njena logaritamska derivacija je racionalna).
Rezultati istraživanja bit će publicirani u vrlo kvalitetnim međunarodnim časopisima, te prezentitani na međunarodnim konferencijama. Kroz ovaj projekt pojačat će se naša znanstvena suradnja s međunarodnim matematičarima, te će se nekoliko mladih istraživača osposobiti za znanstveni rad. |
|
|
|
|
|
|
Prihvaćeni projekti u programu
|
|
|
|
| Redni broj |
Voditelj |
Naziv projekta |
|
|
|
|
|
|
